比圆周率π更神奇的常数！上帝创造的杰作——自然常数e！

我们最为熟悉的一个常数就是圆周率π=3.1415926……

然而，在自然界中，还有一个比π更加神奇的常数。那就是堪称上帝之数的自然常数e=2.71828……

光听名字，你就能够感受到这个e不简单，能够命名为“自然”这两个字，一定是大有来头！

笔者今天在查阅资料时，突然发现，除了专业性文章以外，全网居然没有一篇文章能够用比较通俗易懂的语言解释清楚为什么e会存在？今天我们就来聊一聊这个无比神奇的常数e。

首先我们来看一组数据

(1+1/1)^1=2^1=2

(1+1/2)^2=1.5^2=2.25

(1+1/3)^3≈1.333^3≈2.369

(1+1/4)^4=1.25^4≈2.441

(1+1/5)^5=1.2^5≈2.488

(1+1/6)^6≈1.167^6≈2.526

(1+1/7)^7≈1.143^7≈2.549

(1+1/8)^8=1.125^8≈2.566

(1+1/9)^9≈1.111^9≈2.579

(1+1/10)^10=1.1^10≈2.594

…………

(1+1/100)^100=1.01^100≈2.705

(1+1/1000)^1000=1.001^1000≈2.717

(1+1/10000)^10000=1.0001^10000≈2.718

…………

(1+1/n)^n=？

…………

随着n的增大，我们发现，计算结果也在不断增大。同时，我们还感受到了一股神秘的力量，这股力量将计算结果逐渐逼近于某一个确定的值。而这个值就是我们今天要讲的自然常数e。

要想探究e的奥秘，我们必须要首先讨论e的存在性，这个e到底存不存在呢？

我们考察数列{an}={(1+1/n)^n}

首先我们来分析一下这个数列的单调性：

an=(1+1/n)^n

a(n-1)=[1+1/(n-1)]^(n-1)，n≥2

根据均值不等式

[b1×b2×……×b(n-1)×bn]^(1/n)≤[b1+b2+……+b(n-1)+bn)]/n

也就是说，n个正数的几何平均数不大于这n个正数的代数平均数。

取b1=b2=……=b(n-1)=1+1/(n-1)=n/(n-1)，bn=1，n≥2

[b1×b2×……×b(n-1)×bn]^(1/n)

={[1+1/(n-1)]^(n-1)×1}^(1/n)

=[a(n-1)×1]^(1/n)

=[a(n-1)]^(1/n)

[b1+b2+……+b(n-1)+bn)]/n

={(n-1)×[n/(n-1)]+1}/n

=(n+1)/n

=1+1/n

[a(n-1)]^(1/n)≤1+1/n

a(n-1)≤(1+1/n)^n=an

an≥a(n-1)，n≥2

数列{an}={(1+1/n)^n}单调递增

同样的方法，也可以证明数列{(1-1/n)^n}单调递增

接下来我们继续来讨论数列{an}的有界性：

(1+1/n)×(1-1/n)=1-1/n^2＜1，n≥2

1+1/n＜1/(1-1/n)

(1+1/n)^n＜1/[(1-1/n)]^n

数列{(1-1/n)^n}单调递增，则数列{1/[(1-1/n)]^n}单调递减

1/[(1-1/n)]^n≤1/[(1-1/2)]^2=1/(1/2)^2=1/(1/4)=4，n≥2

an=(1+1/n)^n＜1/[(1-1/n)]^n≤4，n≥2

数列{an}={(1+1/n)^n}有上界

总结一下，数列{an}={(1+1/n)^n}单调递增有上界

根据单调有界定理：若数列单调有界，则数列必存在极限。

数列{an}={(1+1/n)^n}必存在极限，我们将这个极限值叫做自然常数，用字母“e”表示

e=lim(an)=lim[(1+1/n)^n]，n→∞

讲到这里，我们终于可以确定这个自然常数e是必然存在的。接下来我们继续来欣赏“e”的魔术表演。

我们都学习过阶乘，定义n的阶乘为：

n!=1×2×3×……×n，并规定：0!=1

我们来看一下如下计算结果：

1/0!=1/1=1

1/0!+1/1!=1+1=2

1/0!+1/1!+1/2!=2+1/2=2.5

1/0!+1/1!+1/2!+1/3!=2.5+1/6≈2.667

1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!≈2.667+1/24=2.708

1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!≈2.708+1/120≈2.717

1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!≈2.717+1/720≈2.718

…………

我们可以明显感觉到，这个计算结果逐渐在向自然常数e逼近，而且其逼近速度远远快于对e定义的公式速度。当我第一次看到这个结果时，简直惊呆了，这个“e”怎么又和阶乘联系上了呢？

其实这正是著名的泰勒级数展开的结果！

根据泰勒公式：

而以“e”为底数的指数函数f(x)=e^x，有一个非常神奇的性质，这个函数是除f(x)=0以外唯一一个导函数等于原函数的函数。

f＇(x)=(e^x)＇=e^x=f(x)

换句话说，无论对(e^x)求多少次导数，其结果都还是(e^x)

代入泰勒公式

f(x)=e^x=f(x0)/0!+[f(x0)/1!]×(x-x0)+[f(x0)/2!]×[(x-x0)^2]+……+[f(x0)/n!]×[(x-x0)^n]+……

取x0=0，f(x0)=f(0)=e^0=1，x-x0=x-0=x

f(x)=e^x=1/0!+(1/1!)×x+(1/2!)×(x^2)+……+(1/n!)×(x^n)+……

再取x=1，f(1)=e^x=e^1=e，x^n=1^n=1

e=1/0!+(1/1!)×1+(1/2!)×1+……+(1/n!)×1+……

e=1/0!+1/1!+1/2!+……+1/n!+……

这就是数学之美！