所有人的生日都在π里?你对数学的美知之甚少

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所有人的生日都在π里?你对数学的美知之甚少

2019 年联合国教科文组织第四十届大会宣布每年3月14日为“国际数学日”,又称“π日”,即国际圆周率日。不知道你能背到圆周率第几位?3.14159265358979……


经吉尼斯世界纪录认证,目前π的最准确值超过小数点后62.8万亿位,计算耗时108天零9小时。


计算机科学家曾经通过穷举法,证明圆周率中包含所有的8位数,这就意味着:我们的生日等一切日期都会在圆周率中出现。


所有人的生日都在π里?你对数学的美知之甚少


在“北大数院人”公众号的对话中直接输入生日,即可查询出它在π里的位置。


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伟大的科学家狄拉克说过:“数学中的美,是一种无法付诸定义的特性,比艺术中的美具有更多的内涵,却难于为数学学习者领会。”


吴振奎教授在《美妙的数学》一书中,以数学实例揭示数学潜在的规律,同时探索用美学原理指导数学创造和发现的途径,为读者呈现了一个考试和教科书之外的数学世界,全面展现了数学的丰富文化及其内在的美妙,带你发现宇宙之大,粒子之微,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁……


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数字的韵味和美妙

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下面的算式有着故事一样的神奇、诗歌一样的韵味,绘画一样的美妙:


所有人的生日都在π里?你对数学的美知之甚少


再如下面的友好数对:

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这种运算或形式上很奇特的算式,常常在令人感叹之际,有时会觉得式子很美(这当然需要我们感受与品味)。

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这些奇异算式产生的形式上的数字(算式)美必然会吸引不少人去研究,去发现,去探索。


(1)数中的金蝉脱壳


再来看下面两组耐人寻味的数:

{123789, 561945, 642864},

{242868, 323787, 761943} .


首先, 它们的和相等(请您动手算算看):

123789+561945+642864

=242868+323787+761943


有意思的是它们的平方和也相等:

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奥妙不止于此,两组数中每个数的首位抹去后组成的新数也有上述性质:

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这个过程(抹去最高位上数字)可继续下去:

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更为有趣的是:若上面两组数分别从最末位数开始依次抹去,上述性质(和相等,平方和也相等)依然保存。


这种让人感到不可思议的数及其运算, 数学中并不罕见——它们显然在吸引人们的眼球。寻找它们,发现它们,必然是不少人的追求和向往。


(2)莫尔当数组


和、积一样的数组也很稀奇,因为它们不易寻找。请注意下面四组(每组皆为三个数):

(14,50,54),(15,40,63),

(18,30,70),(21,25,72),


其中每组数的和均为118,每组数的乘积都为37800(或许与数、积幻方有关联)。对于和为118的三个数,有上述性质者仅此四组。


求解这种数组问题称为莫尔当(Mauldon)问题。


下面四组数(注意组数是4)每组和为137,积皆为25200:

(6,56,75),(7,40,90),

(9,28,100),(12,20,105).


有无组数是5的莫尔当数组?截至目前,人们仅找到一组,它们每组诸数和皆为981,而积均为1425600:

(6,480,495),(11,160,810),

(12,144,825),(20,81,880),

(33,48,900)。


02

数字背后的特殊寓意

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数字与人们的生活有着密切的联系。然而你或许不曾注意到,有些数字似乎与人们的“交往”更为密切,更加深邃,以致生活处处不可思议地显示着与它们的神秘巧合。


数本身也许并不蕴涵什么哲理,但人们还是设法赋予它们灵魂,从而让它们鲜活起来。在古希腊毕达哥拉斯认为:


1代表理性,是万数之源,而不仅是一个数;2代表见解;3代表力量;4代表正义或公平;5代表婚姻,因为5是由第一个阳性数3和第一个阴性数2结合而成的。此外,5的特性蕴涵了颜色的秘密;6中存在着冷热的原因;7中包含了健康的奥秘;8中隐藏了爱的真谛,因为8是3(力量)和5(婚姻)结合而成。


艺术家常常借助于“数学”喻义创作许多耐人寻味的画作。


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由于人所处的地理环境、社会环境的不同,便会有风俗习惯的差异。人们对事物认识也会有差异,比如会赋予数字不同的文化内涵,这样也逐渐形成对某些数字的喜爱和崇拜,而对另一些数字则产生厌烦和惧怕,所以数字蕴涵着不同的社会文化内涵。


数字1:万物的开端,世界的本原,由它派生了整个世界。


数字2:宇宙分界的标识(天地、日月、阴阳、男女……),2是双数,又意味着爱情(中国人常把数字人性化,如婚期总择双日)等。


数字3:物有“三态”(气、液、固),天有“三光”(日、月、星),人有“三宝”(精、气、神),现实空间有“三维”。我国传统宗教有“三教”(儒、道、佛),基督教中有“三位”(圣父、圣子、圣灵)一体,军队有“三军”(海、陆、空),三个月为一季。成语中有“三”的则更多了。


韩国人喜欢数字三,有学者试图从神话传说中找出答案。韩国历史上最早的《檀君神话》中,天帝桓因的庶子桓雄率领三千部下下凡,之前天帝送给他三个天符印。


桓雄建立国家后和熊女生下了朝鲜民族的始祖檀君,檀君正好是天帝的第三代,他们三位被奉为“三圣”,后来这又被发展为“天、地、人”三才的“三神信仰”。韩国文字的创制原理就是有天、地、人三部分,分为初声、中声、终声三音节。


另一种说法则是因为阴阳五行的关系。一是最初的阳数,二是最初的阴数,三则是阴阳的调和的数字。正如“道生一,一生二,二生三,三生万物”中的“三”蕴含着宇宙万物的奥秘,意味着圆满。阴阳五行认为单数为阳,双数为阴,阳带来吉祥和好运。


数字6:第一个(最小的)完全数(6=1+2+3)。人有“六腑”(胃、胆、三焦、膀胱、大肠、小肠)、牲有“六畜”(猪、牛、羊、马、鸡、狗),文言中有“六合”(上、下、东、南、西、北,泛指天下或宇宙),历史上有“六朝”[先后建都于建康(今南京)的吴、东晋、宋、齐、梁、陈,有时也指南北朝],干支中有“六甲”(有时妇女怀孕亦称身怀“六甲”),人的亲戚中有“六亲”(父、母、兄、弟、妻、子),道教中有“六神”(心、肺、肝、肾、脾、胆),古人分析汉字归纳出的“六书”(指事、象形、形声、会意、转注、假借)。六也是《圣经》中上帝创世的日期。


1967年,美国心理学家米尔格兰在《今日心理学》杂志上公布他的一项研究结果:世界上任何两个陌生人之间其实只隔了六个人。换言之,平均只要通过六个人,我们便可与世上的任何一个人联系。这就是人际关系中的“六层间隔论”。芸芸众生之间,有着千丝万缕的联系,这也是所谓“人肉搜索”能进行的重要基础。


数字7:在数学中是个素数。一周有“七天”(据说是古代巴比伦人留下的计日制)。我国有“七曜日”(日、月、金、木、水、火、土)。日光可分解成“七色”(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫)。音乐中有“七个音符”。七言古诗有“七绝”“七律”。人脸有“七窍”(耳、鼻、口、眼),人身也有“七窍”。人的情感有“七情” (六欲)。地球的陆地分为七个洲(也有五大洲之说)。牛郎织女相会在“七夕”(农历七月七日晚)……


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有趣的是:“七”在伊朗是一个重要的数字,伊朗人过年要摆上“七种”物品的拼盘以迎新春,女儿出嫁要穿“七色”染成的新装以贺新喜。


西方人受宗教影响,认为七是幸运数字,因为《圣经》说上帝七天创造了世界,基督教传说中有七个守护神。


其实对数字七的喜爱古已有之,北斗七星也被古人视为吉祥的象征。


古希腊的医学之父希波克拉底认为:数字7通过它内涵的美使世间的一切保持完美。它支配着生命和运动。


03

数学也可以很“诗意”

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用数学作诗赋对,堪称国人的一大专长。其不仅巧妙,而且意味绵长。


中国古诗中关于数字的妙句也不少,比如宋代邵雍的五言绝句:“一去二三里,烟村四五家,亭台六七座,八九十枝花”。清代郑板桥《咏雪》诗中写道:“一片两片三四片,五六七八九十片。千片万片无数片,飞入梅花总不见。”


在人们的传说中,与数有关的故事层出不穷,下面一则“数字情书”的典故可谓其中的代表,它也一直被人传为佳话。


汉代蜀中司马相如,赴考长安,官拜中郎将,暗萌休妻之念,负约五年不寄书信回家,而多情的妻子卓文君则朝盼夜思,恋情戚戚。一日她正思念垂泪,忽京官送来一信,并说:“大人立等回书。”文君惊喜万分,展信一观,只见信上写着“一二三四五六七八九十百千万”十三个数字。文君暗想:句中无“亿”,即“无意”于我了。顿时悲愤交加,悟知丈夫变了心,特意变着法子刁难她,愤怒才女文君立即用上述数字写了一封句句嵌上数字的情书(且按一、二、三……百、千、万顺序与倒序两种方式):


一别之后,二地悬念,只说是三四月,又谁知五六年,七弦琴无心弹,八行书无可传,九连环从中挫断,十里长亭望眼欲穿,百相思,千系念,万般无奈把郎怨。万语千言说不完,百无聊赖十倚栏,重九登高望孤雁,八月中秋月圆人不圆,七月半烧香秉烛问苍天,六伏天人人摇扇我心寒,五月石榴似火,偏遇阵阵冷雨浇花端,四月枇杷未黄,我欲对镜心意乱,急匆匆,三月桃花随水转,飘零零,二月风筝线儿断。噫!郎呀郎,巴不得下一世你为女来我为男!


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《新刻出像音注司马相如琴心记》,明代戏曲家孙柚撰,明万历时期金陵唐氏富春堂刻本。


司马相如接到书信,感妻情真意切,为之九曲回肠所动,自觉十分羞赧,遂回心转意,亲自返乡,将卓文君高车驷马接到住所,夫妇互敬互爱,百年偕老。


这封绝妙的情书,不仅使丈夫看到了妻子纯贞的爱情,也更惊叹夫人出众的才华。因为书信巧妙地用一至万和万至一的数字,给人以生动、新颖、独特的美的感受。


对联中的数字并不鲜见,妙用者也有不少,比如称赞教师的一副对联:


一支粉笔两袖清风,三尺讲台四季晴雨,加上五脏六腑七嘴八舌九思十想,教必有方,滴滴汗水诚滋桃李满天下;


十卷诗赋九章勾股,八索文思七纬地理,连同六艺五经四书三字两雅一心,诲人不倦,点点心血勤育英才泽神州。


对联不仅对仗工整,语句自然流畅,联中数一、二、三……十的巧妙引用(一正序一倒序),再一次展现了数字的魅力。


再来看一个与数字及其运算有关的对联故事。


相传乾隆五十岁生日那天,邀天下七旬以上老人同庆。据称来者有三千之众,故曰:“千叟宴”。其间一位老者已141岁,乾隆闻知为此出一上联“花甲重逢又增三七岁月”,纪晓岚马上给出下联“古稀双庆更多一度春秋”。


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《乾隆帝写字像》轴,清,绢本,设色,纵100.2厘米,横95.7厘米。


对联中都蕴涵141岁隐意,花甲隐60岁,重逢即为120岁,加上三七岁月(3×7=21)计141岁。古稀代表70岁(杜甫有诗句“人生七十古来稀”),双庆后多一春秋,亦为141岁。


此对联借用数字及运算,使之妙趣横生,读来回味绵长。


数学颇具魅力,令众多大科学家、文学家、艺术家们大为感慨。难怪伽利略说:“数学是上帝用来书写宇宙的文字。”


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你在生活中曾注意到哪些数学的美妙瞬间?

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美妙的数学

作者:吴振奎

古老的数学,有说不完的故事,也有解不开的难题。

公式之美

作者:量子学派 编著

通过人类最美的23个公式,用人文解析数学之美,重塑人类理性堤坝抵挡盲信洪流,聚集日益退却的独立思考者,打破快餐式的碎片刷屏时间,用趣味解读发现科学之美,用公式智慧重构思考体系。


-End-

观点资料来源:《美妙的数学》

转载及合作请发邮件:scb01@pup.cn

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自然界的书是用数学的语言写成的

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