本文内容来源于《测绘学报》2022年第2期（审图号GS（2022）540号）
潘娟霞1, 邹贤才1,2
1. 武汉大学测绘学院, 湖北 武汉 430079;
2. 武汉大学地球空间环境与大地测量教育部重点实验室, 湖北 武汉 430079
基金项目：国家自然科学基金（41874021；42192532；41721003）；民用航天“十三五”技术预先研究项目
摘要：GOCE卫星引力梯度仪的精确校准是反演高精度重力场的前提之一，本文利用GOCE卫星L1b数据中的引力梯度仪及恒星敏感器数据实现了卫星引力梯度的内部校准。以最小二乘联合多个恒星敏感器观测数据确定内部校准使用的角速度，有效避免了单个恒星敏感器低精度角速度分量对坐标转换过程的影响。考虑到恒星敏感器坐标系与梯度仪坐标系间旋转矩阵随时间的变化，本文在ESA官方内部校准方法的基础上，提出了顾及旋转矩阵校准参数的内部校准模型，并利用2009年11月的GOCE实测数据验证了该方法的效果。结果表明，该旋转矩阵校准参数数值约100″，且在该月存在3″~30″的漂移；与GOCE官方内部校准方法对比，从卫星引力梯度精度结果来看，在低于0.005 Hz频段内，同时解算旋转矩阵的校准参数与梯度仪内3个加速度计对的校准参数的内部校准模型优于仅考虑加速度计对校准参数的模型；除此之外，本文讨论了以该模型为基础的GOCE梯度仪数据校准的可能方法，为GOCE及后续重力卫星的数据处理工作提供参考。
关键词：GOCE 引力梯度 加速度计 内部校准 姿态重建
PAN Juanxia, ZOU Xiancai. Internal calibration method of GOCE gravity gradients[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2022, 51(2): 192-200. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210067
阅读全文：http://xb.sinomaps.com/article/2022/1001-1595/2022-2-192.htm引 言重力测量卫星GOCE(gravity field and steady-state ocean circulation explorer)是由欧空局(European Space Agency，ESA)研制和发射的低轨重力探测卫星，其科学目标是在100 km的空间分辨率内(即恢复200阶次以上的全球重力场模型)以2 cm的精度测定全球大地水准面及10-5m/s2的精度测定重力异常。相比CHAMP(challenging minisatellite payload)和GRACE(gravity recovery and climate experiment)卫星，GOCE关键载荷是一台高精度的引力梯度仪，由6个加速度计对称安置在3个正交轴上，3对加速度计基线长约50 cm，卫星质心与梯度仪质心重合，从而利用加速度计差分观测值直接测定引力位的二阶梯度张量，并以加速度计共模观测值获得作用于卫星的非保守力[1]。GOCE还有精确的高低卫星跟踪数据及无阻尼控制，联合引力梯度数据及高低卫星跟踪数据解算重力场是其独特优势。GOCE引力梯度仪受到测量误差、外界观测条件等因素影响，导致观测值出现系统偏差、比例误差及有色噪声等，因此，反演重力场前针对GOCE观测数据的校准至关重要。安装结构不同导致GRACE卫星的加速度计校准方式不再适用于GOCE。国内外诸多学者针对GOCE数据的使用及校准做了大量研究，通常根据是否引入参考重力场模型等外部辅助数据将GOCE的校准分为内部校准及外部校准，校准模型通常包括比例因子、偏差因子。文献[2-3]提出用恒星敏感器测量数据及先验重力场估计比例因子，该模型还校准了梯度仪坐标系(gradiometer reference frame，GRF)与恒星敏感器坐标系(star sensor reference frame，SSRF)间未配准的问题。文献[4]提出了将恒星敏感器联合梯度仪测量数据重建的卫星角速度用于校准模型中。文献[5-6]提出类似方法用恒星敏感器数据及加速度计测量值进行内部校准，并针对观测值时间相关性提出解决方案，该方法即为ESA官方采用方法。文献[7-8]根据精密轨道确定比例因子与偏差因子，利用恒星敏感器数据对校准后的引力梯度数据进行验证。文献[9-10]发现在校准模型中加入二次因子可以减弱地磁极周围强风的影响，于2018年引入外部重力场模型对GOCE数据重新处理。国内诸多研究包括对GOCE卫星数据的预处理研究、梯度数据确定地球重力场的理论方法研究[11-13]及基于加速度计数据的校准方法研究，文献[14-16]提出联合几何法精密轨道以动力法完成单加速度计校准及卫星非保守力确定，同时解算重力场模型和校准参数，从而降低参考重力场模型误差对校准结果的影响，并讨论了卫星无阻尼控制的补偿效果。文献[17]利用外部重力场及恒星敏感器数据初步验证对一定频段内校准的有效性。文献[18]讨论利用不同外部重力场模型校准及相同重力场模型不同阶次对校准结果的影响。目前，国内针对GOCE数据的处理及使用以ESA内部校准后的数据为主，本文以ESA官方发布的方法为基础，实现GOCE数据的内部校准，主要目的是为完善GOCE梯度仪观测数据的校准处理，并为讨论内部校准、外部校准方法及动力法校准的联合、比较做初步准备。ESA发布的内部校准方法将误差因素模型化为3个加速度计对的逆校准矩阵，并将该矩阵作用于加速度计实现校准，本文在此基础上提出了顾及SSRF与GRF间的旋转矩阵的校准参数的改进模型，讨论这一变化对卫星引力梯度精度带来的改变。涉及的数据包括卫星搭载的梯度仪及恒星敏感器测量数据，利用加速度计共模观测值及差分观测值与恒星敏感器的姿态数据，根据卫星引力梯度测量原理建立校准模型，以获取校准后梯度仪坐标系下的引力梯度。除此以外，恢复重力场还涉及梯度仪坐标系与惯性系的高精度转换，因此本文提出了关于卫星姿态重建的讨论。
1 理论与方法
1.1 内部校准
GOCE卫星上搭载了几类重要载荷，本文重点关注用于确定中短波重力场的静电引力梯度仪(electrostatic gravity gradiometer，EGG)，以及提供卫星姿态的3个恒星敏感器。GOCE是第一颗采用无阻尼控制技术的卫星，沿轨方向大气阻力得到持续补偿。卫星实际运行过程中，存在诸多误差因素，为此GOCE设计了每两个月执行一次特定的持续1 d的振动，用于卫星的校准，该振动期间的数据称为shaking数据，其他时段称为nominal数据。图 1为梯度仪坐标系中3对加速度计安置结构，实线代表超敏感轴，虚线代表非敏感轴[6]。| 图 1 梯度仪坐标系中3对加速度计安置结构 Fig. 1 Arrangement of the three pairs of accelerometers in the GRF |
图选项 |
1.1.1 共模加速度与差分加速度
图 2是梯度仪中3对加速度计的特殊结构，根据卫星引力梯度测量原理，第i个加速度计测得的加速度值为(1)
| 图 2 单个加速度计的误差来源 Fig. 2 Error sources of a single accelerometer |
图选项 |
式中，i为加速度计编号；V是引力梯度；Ω与分别表示卫星相对其质心的角速度与角加速度；ri是卫星质心到第i个加速度计质心的向量；Ω2ri是卫星围绕其质心旋转产生的离心加速度；
是卫星相对其质心的角加速度产生的线性加速度；d是卫星质心的线加速度，上述变量具体定义见文献[6]。
(2)
(3)
(4)
(5)
式(5)表达为矩阵形式
(6)
式中，Ad=(ad, 14, ad, 25, ad, 36)，而矩阵L[6]
(7)
式中，Lx、Ly、Lz分别表示梯度仪在x、y、z 3个方向上的臂长，本文使用ESA官方值[6]，Lx=0.514 0135 m，Ly=0.499 890 0 m，Lz=0.500 201 0 m。由V与Ω2的对称性及的反对称性，有
(8)
(9)
1.1.2 校准模型
卫星实际运行过程中，通常考虑以下误差因素：①加速度计质心偏离标称位置；②加速度计各坐标轴未严格与梯度仪相应坐标轴对齐；③加速度计3轴不完全正交；④由于数据输出增益的不确定性，产生的加速度计比例因子[10]。将误差参数化为比例因子、偏差因子及二次项，其中二次项以物理振动的方式予以消除[19]，因此内部校准矩阵应包括比例因子与偏差因子。图 3表示除非线性二次项以外的加速度计误差因素，每个加速度计包括6个角度校准参数、3个比例因子，6个加速度计共需要确定54个校准参数，定义校准矩阵[6](10)
| 图 3 0.05~0.1 Hz内离心加速度、差分加速度、引力梯度PSD1/2比较 Fig. 3 Comparison of PSD1/2 of centrifugal acceleration, differential acceleration and gravity gradients in the 0.05~0.1 Hz |
图选项 |
式中,为第i个加速度计测量值；ai为对应真实值；参数s是各个方向上的比例因子；α、β、γ分别为切向因子；δ、ε、ζ分别是微小的切向角度和微小旋转角度，图 2中用K表征比例因子，用θ表征切向因子及角度的综合影响，针对共模、差分加速度有
(11)
式中，Mij是校准矩阵，定义逆校准矩阵Mij-1[6](inverse calibration matrices, ICM)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
写成分量形式为
(20)
1.1.3 协方差矩阵处理
本文采用2 d的数据估计一组校准参数，根据GOCE采样率及有色噪声的特点，难以实现矩阵的存储与求逆运算，参考文献[6, 10]，利用对称的滑动平均去相关滤波，实现去相关处理的同时实现相应频段滤波，避免大型矩阵的求逆，式(21)为去相关滤波表达式(21)
1.2 恒星敏感器的联合
GOCE卫星上搭载的3个恒星敏感器STR1、STR2及STR3，提供了卫星的姿态信息。敏感器的一个特性是绕视轴即z轴方向的角速度ωzSSRF精度低于绕x、y轴角速度ωxSSRF、ωySSRF的精度，坐标转换过程中ωzSSRF的误差将传播至ωxGRF、ωyGRF与ωzGRF中。根据星敏感器与梯度仪的相对关系(图 4)，本文利用最小二乘平差将有效星敏感器的姿态四元数联合[6, 10]，确保后续校准结果更可靠，且角速度精度更高。| 图 4 梯度仪坐标系与3个星敏感器坐标系的相对关系[6] Fig. 4 Relative orientation of the GRF and the SSRFs |
图选项 |
角速度与姿态四元数的精度直接影响到引力梯度与地球重力场反演精度，对角速度及姿态的重建是必要的。恒星敏感器观测的四元数变换到角速度需经过数值微分的过程，导致高频段噪声被放大，加速度计观测值经积分导出的角速度及四元数则放大了低频噪声。文献[19]采用卡尔曼滤波实现角速度与姿态重建。文献[20]利用恒星敏感器角速度与梯度仪角速度建立频域内的权重模型，以维纳滤波重建角速度与姿态。文献[10]提出采用最小二乘拟合以重建姿态。卡尔曼滤波与最小二乘拟合均在时域内展开而未使用频域特点，且卡尔曼滤波的瞬态效应严重造成数据利用率不高，本文参考[20]利用维纳滤波在频域内联合两类数据的优点实现角速度及姿态重建。
维纳滤波的原理是根据两类观测值精度实现频域内的加权平均，频域内某频率的功率谱密度值(power spectral density, PSD)代表该处的精度
| 图 5 两类角速度噪声PSD1/2 Fig. 5 PSD1/2 of two types of noise |
图选项 |
2 数据分析
选择2009年11月每连续2 d的nominal实测数据为一组，共15组数据进行上述校准及重建过程，得到逆校准矩阵Mij-1与旋转矩阵校准参数ΔR，将校准模型分为两类对数据处理结果进行讨论，第1类与ESA内部校准方法一致仅考虑Mij-1；第2类增加ΔR参数。本文结果分析时，除了利用引力梯度张量梯度满足的拉普拉斯方程进行检验，还选用与GOCE不相关的重力场模型EIGEN-5C为参考场，该模型解算主要采用的数据有卫星测高数据、地面重力数据、GRACE和Lageos卫星数据，利用该参考模型计算引力梯度参考值，并分析实测引力梯度数据校准后与参考值差值的功率谱，分析校准参数对梯度结果的影响。图 6给出了部分Mij-1序列，C1421表示式(12)中14加速度计对C14第2行第1个参数，与理想情况相较(比例因子、偏差因子分别为1、0)，结果显示矩阵Cij, Dij(ij=14, 25, 36)非对角线差值数量级为10－5~10－4，对角线差值数量级为9×10－4~2.7×10－2，考虑到一个月内校准参数存在最大约2×10－5的线性趋势，将参数线性拟合后再进行校准，表 1是拟合得到的一组比例因子的数值。图 7为本文第1类方法校准后引力梯度张量迹的功率谱密度与ESA的校准结果，吻合良好。图 8为恒星敏感器联合前后引力梯度张量迹的PSD1/2。| 图 6 部分Mij-1参数序列 Fig. 6 Part parameters series of Mij-1 |
图选项 |
表 1 加速度计对比例因子 Tab. 1 Scale factors of accelerometer pairs
| 加速度计对编号 | 方向 | ||
| x | y | z | |
| 14 | 1.023 4 | 0.973 7 | 1.020 1 |
| 25 | 1.017 7 | 1.018 4 | 0.979 8 |
| 36 | 1.018 4 | 0.973 3 | 1.022 7 |
表选项
| 图 7 校准后引力梯度张量迹的PSD1/2 Fig. 7 PSD1/2 of calibrated gravity gradient trace |
图选项 |
| 图 8 恒星敏感器联合前后引力梯度张量迹的PSD1/2 Fig. 8 PSD1/2 of calibrated gravity gradient trace before and after combination of star sensors |
图选项 |
| 图 9 恒星敏感器联合前后对应引力梯度分量与模型参考值差值的PSD1/2 Fig. 9 PSD1/2 of differences of gravity gradients to EIGEN-5C model before and after combination of star sensors |
图选项 |
| 图 10 参数ΔR序列 Fig. 10 Time series of ΔR |
图选项 |
| 图 11 两类校准模型对应引力梯度分量与模型参考值差值的PSD1/2 Fig. 11 PSD1/2 of differences of gravity gradients to EIGEN-5C model for the two calibration models |
图选项 |
表 2 两类引力梯度分量与模型参考值差值的PSD1/2统计 Tab. 2 PSD1/2 statistics of differences of gravity gradients to EIGEN-5C model for the two calibration models (mE/)
| 分量 | 校准模型 | 最大值 | 最小值 | 平均值 | 标准差 |
| Vxx | 方法1 | 45 245 823.203 | 47.036 | 5 221 249.416 | 13 553 688.125 |
| 方法2 | 45 244 950.335 | 43.651 | 5 220 653.314 | 13 553 591.064 | |
| Vxz | 方法1 | 2 794 553.787 | 53.980 | 323 811.690 | 836 447.020 |
| 方法2 | 2 696 051.381 | 42.138 | 312 174.185 | 807 154.872 | |
| Vyy | 方法1 | 56 026 989.558 | 127.440 | 4 670 338.535 | 16 173 150.910 |
| 方法2 | 56 024 742.462 | 110.274 | 4 669 472.429 | 16 172 715.845 | |
| Vzz | 方法1 | 18 562 356.933 | 94.722 | 2 142 510.910 | 5 560 223.548 |
| 方法2 | 18 561 125.427 | 74.125 | 2 141 971.948 | 5 560 046.890 |
表选项
3 结论与展望
本文从GOCE卫星引力梯度测量原理着手，利用L1b数据中nominal时段的引力梯度仪观测数据及恒星敏感器姿态数据对加速度计测量值做内部校准，以最小二乘联合多个恒星敏感器观测值以避免SSRF及GRF间转换导致的误差传播；为得到惯性坐标系下更为精确的引力梯度张量以恢复重力场，采用维纳滤波重建了卫星角速度及姿态四元数。在ESA校准方法的基础上，提出顾及SSRF与GRF间旋转矩阵校准参数的内部校准模型，结果表明该组校准参数的数值绝对值在100″左右，且在该月呈现约3~30″的线性趋势，同时解算逆校准矩阵及SSRF与GRF间旋转矩阵校准参数的内部校准模型可改进低于0.005 Hz频段内引力梯度各分量的精度，对于梯度分量Vxz改进最大，证实了这一校准参数存在的必要性，对GOCE自身数据处理及后续重力卫星数据处理带来一定的参考价值。
最后在本文的基础上提出关于GOCE数据处理可能的改进方向：①由于无外部数据的约束，内部校准方法不能避免GOCE自身系统偏差造成的影响，因此考虑比较外部校准方法及动力法以联合各方法的优势，可推动梯度数据处理问题的讨论；②关于基线长Lx、Ly、Lz及ΔR的确定及二次项K2的补偿，考虑引入先验重力场并联合恒星敏感器数据解算；③在对协方差矩阵进行对称滑动平均去相关滤波过程中，本文统一选择滤波器阶数等于轨道周期长度，但实际解算时该长度估计的功率谱并不是最优，针对去相关过程中功率谱分辨率及精度的折中选择值得深入讨论。
作者简介
第一作者简介：潘娟霞(1996-), 女, 硕士, 研究方向为卫星重力测量。E-mail: jxpan_sgg@whu.edu.cn
通信作者：邹贤才, E-mail: xczou@whu.edu.cn
初审：张艳玲复审：宋启凡
终审：金 君
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