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几千年来，数学都是研究概念的数量属性的度量和概念间数量属性关 系的专门学问。数学家们从来都没有停止过力图使数学成为实用性最强的 学科的努力。他们的努力没有白费，数学的不断进化几乎没有拖过人类思 维进化的后腿，反过来倒是这门只研究概念的数量属性的学问给了研究整 个概念性思维方法的思维科学以诸多重大启示：初等数学为抽象思维的形 而上学方法研究概念外延的片段的数量属性提供了足量的精巧工具；微积 分等高等数学又为抽象思维的辩证方法找到了绝妙的佐证；现在离散数学 也为科学具象思维方法研究概念间的数量关系格局做了先期的概念准备， 并为精确意义上的科学具象思维片刻也离不开的计算科学奠定了方法基 础。

为了最大限度地扩大数学的应用范围，离散数学定义了一系列和传统 初等数学、高等数学完全不同的数学概念，其中有些概念早在19世纪甚 至在17世纪就已经产生，但真正激活它们的是现代计算科学的发展。我 们曾说科学具象思维的数量属性格局已不是传统的数学关系。但从新数学 概念的角度看，概念间的数量属性格局仍是数学关系的范畴。

1. 数理逻辑

自然语言将命题表达为具有确定真假意义的陈述句。若该语句表达的 意义符合事实，就称其为真命题。若该语句表达的意义不符合事实，就称 其为假命题。在数理逻辑中，用0表示假命题，用1表示真命题，称0和 1为真值。这时的0和1已不再是实数意义上的0和1。同此，数学用许许 多多有准确意义的符号替换了有歧义的自然语言，从而开始涉足有悠久历史的形式逻辑领域。数理逻辑也被称为符号逻辑，是用数学方法研究推理 形式的科学。

2. 笛卡尔积

集合是现代数学中另一个重要的基本概念。从集合角度，我们有了和 传统数学完全不同的乘积概念——笛卡尔积：设n≥2,A₁,A₂,…A 。   是任 意集合，它们的笛卡尔积A₁ ×A₂ ×…×A。定义为 <x₁,X₂,…x。>|x₁ ∈A₁

Ax₂∈A₂A…Ax₀∈A。

3 . 关系

“关系”是我们十分熟悉的词汇，数字之间的关系包括等于关系、大  于关系、小于关系等。从集合的角度看，我们并不注重各种关系的具体含  义，而仅仅关心哪些对象之间具有此关系，因此可以把关系抽象为有序n   元组的集合。在此基础上，再深入研究复合关系、自反关系、对称关系、 传递关系、等价关系、偏序关系等特殊类型的关系。

4. 代数系统

所谓代数系统就是由一个非空集合S 以及定义在S 上的某些代数运算  所构成的系统，通常用集合以及集合上的运算来表示代数系统。例如，如  果集合S 中有两种代数运算，一个用“+”表示，另一个用“*”表示， 则该代数系统可记为 (S,+,*)。

在现代计算科学中，存在着不计其数的代数系统。人们研究这些代数  系统时，不是针对一个一个具体的代数系统加以研究，而是研究一类的代  数系统的共性和一类代数系统所具有的运算规律。这些分类包括群、环、 域、格、布尔代数等。我们理解代数系统的运算时应格外注意，这种运算  强调的是参加运算的元素与运算结果的对应关系，而不是具体的运算过  程。这种运算的涵义非常广泛，不仅可以是数值运算、矩阵运算、集合运  算，还可以是各种操作，只要指明了对应关系，就可以认为是确定了运  算。这是代数系统应用广泛性的基础。

5. 图论

在电子计算机科学迅猛发展的促进下，作为离散数学重要内容之一的图论已被迅速有效地应用于众多领域。科学具象思维的多个变量相互影 响、共同变化的数量关系格局就有些类似关于图的描述。在现实生活中， 当我们研究事物之间的关系时，可以将它们看作点(事物)和点与点之间 的连线(事物之间的关系)构成的图。这样的图与几何图形有本质的区 别，我们只关心点之间是否有边(事物之间是否有联系),而不关心点的 位置、边的长短及曲直，它是我们描述事物之间关系的一种手段。我们对 图的更进一步的规律性的认识是通过通路、回路、图的连通性、图的遍历 等一系列概念来完成的。