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中国古代数学强调实际应用，又深受周易思 维的影响，所以《周髀算经》开篇就出现了周公与商高关于勾股定理的一段对话。 在那一段对话中，商高是否证明了普遍意义下的勾股定理呢?一些数学史家认为， 商高可能只是从经验中归纳出了“勾三股四弦五”的结论，并没有从理论上证明普 遍意义下的勾股定理。
事实真的如此吗?数学史家之所以认为商高并没有证明普遍意义下的勾股定理， 可能有两个原因，一是他们没有注意到商高的那段话是按象、数、理、占的模式展 开的，不是按一般中国古代数学典籍的方式论述的；二是对那段话的文字句读和诠 释出了问题。
第一，《周髀算经》中的论述是按象、数、里、占的程式展开的。赵爽在为 《周髀算经》作注中已经指出：
商高为了向周公讲述勾股定理，先用圆与方之形给出“象”,再分别用圆与方 的周长给出“数”,然后说明其“理”,并做出“径隅五”的“占”。从《周髀算 经》的原文和赵爽的注看，象、数、占都十分明显，只有“理”似乎没有凸现出 来。其实这个“理”在商高的对话中也已经说得很清楚了，不过由于它“言约旨 远”,没有被人们充分理解罢了。
第二，古人写文章不加标点符号，后人阅读时有时很难断句。今人阅读古籍， 一般要依赖专家的点校，如果点校者出现了失误，就会使读者跟着误读，从而以讹 传讹，积非为是。我们有必要重新分析一下商高与周公的那一段对话。
在商高与周公的对话中，有这样43个连续的字：
故折矩以为勾广三股修四径隅五既方其外半之一矩环而共盘得成三四五两矩共 长二十有五是谓积矩
它可能不是商高所说的话，而是对商高一些实际操作的描述。但是后世的研究 者都把它当作了商高所说的话，同时将其中“既方其外半之一矩环而共盘”破读 为：“既方其外，半之一矩，环而共盘。”并且将“半”字诠释为二分之一，因而使 得商高的话难以理解。例如李约瑟在《中国科学技术史》中就是这样解读的，该书 把这句话翻译成：
设把一个矩形沿对角线切开，让宽等于3单位，长等于4单位。这样，两个对 角之间的对角线的长度就等于5单位。现在用这条对角线作为边长画一个正方形， 再用几个同外面那个半矩形相似的半矩形把这个正方形围起来，形成一个方形盘。 这样，外面那四个宽为3、长为4、对角线为5的半矩形，合在一起便构成两个矩 形，总面积等于24;然后从方形盘的总面积49减去这24,便得到余数25。这种方 法称为“积矩”。①
将这段翻译与《周髀算经》的原文对比，不能文从字顺，因而难于理解。
笔者认为，那43个字不是引用商高所说的话，而是《周髀算经》的作者描述 商高向周公演示勾股定理原理的操作，不然，那个“故”字就无法理解。那43个 字应该这样断句：
故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方，其外半之一矩环而共盘，得成三 四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。
现在我们试将商高的话根据上面的断句另作诠释： 故——所以。
折——折断、弯折。
矩——指直角三角形而不是长方形，在这里它不是抽象的名词，而是实际演示 时用的“教具”。
既方——指把几个直角三角形合成正方形。商高在回答周公用矩之道时就提到 了“环矩以为圆，合矩以为方”,所以商高知道怎样用直角三角形合成正方形。
其外半之一矩——它外围部分的一个直角三角形。半：部分。 长——增加。
这段话的意思是说：于是商高用一根长条弯折为直角三角形做了如何判断一个 “勾三、股四的直角三角形其径为五”的演示，他用(四个)直角三角形合成一个 正方形，(正方形的)外部是由直角三角形环绕成的方形盘，便得到了三、四、五 的数据，(因为内部的)两个直角三角形(即围成的正方形)所增加的面积为25。
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